Octaedro

En geometría, un octaedro (plural: el octahedra) es un poliedro con ocho caras. Un octaedro regular es un sólido Platónico formado de ocho triángulos equiláteros, cuatro de los cuales se encuentran en cada uno.

Un octaedro es el caso tridimensional del concepto más general de una cruz se poliemborrachan.

Dimensiones

Si la longitud del borde de un octaedro regular es a, el radio de una esfera circunscrita (uno que menciona el octaedro en todos los vértices) es

:

y el radio de una esfera inscrita (tangente a cada una de las caras del octaedro) es

:

mientras el midradius, que toca el medio de cada borde, es

:

Proyecciones ortogonales

El octaedro tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales, centradas, en un borde, vértice, cara, y normal a una cara. El segundo y el tercer equivalen al B y Unos aviones Coxeter.

Coordenadas cartesianos

Un octaedro se puede colocar con su centro en el origen y sus vértices en las hachas coordinativas; las coordenadas Cartesianos de los vértices son entonces

: (±1, 0, 0);

: (0, ±1, 0);

: (0, 0, ±1).

Área y volumen

La área de superficie A y el tomo V de un octaedro regular de longitud del borde ser:

:

:

Así el volumen es cuatro veces más que el de un tetraedro regular con la misma longitud del borde, mientras la área de superficie es dos veces (porque tenemos 8 contra 4 triángulos).

Relaciones geométricas

El interior del compuesto de dos tetrahedra duales es un octaedro, y este compuesto, llamado el stella octangula, es su primer y sólo stellation. Proporcionalmente, un octaedro regular es el resultado de cortamiento de un tetraedro regular, cuatro tetrahedra regulares de la mitad de la talla lineal (es decir rectificación del tetraedro). Los vértices del octaedro están en los puntos medianos de los bordes del tetraedro, y en este sentido está relacionado con el tetraedro del mismo modo que el cuboctahedron e icosidodecahedron relacionan con los otros sólidos Platónicos. Uno también puede dividir los bordes de un octaedro en la proporción del término medio para definir los vértices de un icosahedron. Esto es hecho por primeros vectores de colocación a lo largo de los bordes del octaedro tales que cada cara es saltada por un ciclo, entonces de manera similar dividiendo cada borde en el término medio a lo largo de la dirección de su vector. Hay cinco octahedra que definen a cualquiera dado icosahedron de esta moda, y juntos definen un compuesto regular.

Octahedra y tetrahedra se pueden alternar para formar un vértice, borde y mosaico uniforme por la cara del espacio, llamado el entramado del octeto por el Buckminster Más lleno. Esto es el único tal embaldosado salva el mosaico regular de cubos, y es uno de los 28 panales uniformes convexos. El otro es un mosaico de octahedra y cuboctahedra.

El octaedro es único entre los sólidos Platónicos en tener un número par de caras que se encuentran en cada vértice. Por consiguiente, es el único miembro de ese grupo para poseer aviones del espejo que no pasan por ninguna de las caras.

Usando la nomenclatura estándar para sólidos de Johnson, se llamaría un octaedro un cuadrado bipyramid. El truncamiento de dos vértices de enfrente causa un cuadrado bifrustum.

El octaedro se 4 relaciona, significando que toma el retiro de cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de sólo cuatro simplicial 4 relacionados poliedros bien cubiertos, significando que todos los juegos independientes máximos de sus vértices tienen la misma talla. Los otros tres poliedros con esta propiedad son dipyramid pentagonal, el desaire disphenoid y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares.

Uniforme colorings y simetría

Hay 3 uniforme colorings del octaedro, llamado por los colores de la cara triangulares que van alrededor de cada vértice: 1212, 1112, 1111.

El grupo de simetría del octaedro es O, de la orden 48, el grupo hyperoctahedral tridimensional. Los subgrupos de este grupo incluyen el D (la orden 12), el grupo de simetría de un antiprisma triangular; D (la orden 16), el grupo de simetría de un cuadrado bipyramid; y T (la orden 24), el grupo de simetría de un tetraedro rectificado. Estos symmetries pueden ser enfatizados por colorings diferente de las caras.

Dual

El octaedro es el poliedro dual al cubo.

:

Redes

Tiene once medidas de redes.

Este ejemplo lo representa tanto como un dipyramid como como un antiprisma:

Poliedros relacionados

El octaedro es una de una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo.

Tetratetrahedron

El octaedro regular también se puede considerar un tetraedro rectificado – y se puede llamar un tetratetrahedron. Esto puede ser mostrado por un modelo de la cara de 2 colores. Con este colorante, el octaedro tiene la simetría tetrahedral.

Compare esta secuencia del truncamiento entre un tetraedro y su dual:

Las susodichas formas también se pueden realizar como partes ortogonales a la diagonal larga de un tesseract. Si esta diagonal se orienta verticalmente con una altura de 1, entonces las cinco partes encima ocurren a alturas r, 3/8, 1/2, 5/8, y s, donde r es cualquier número en la variedad (0,1/4], y s es cualquier número en la variedad [3/4,1).

Este poliedro topológicamente se relaciona como una parte de secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3, n}, siguiendo en el avión hiperbólico.

Tetrahemihexahedron

El octaedro regular comparte sus bordes y acuerdo del vértice con un poliedro uniforme no convexo: el tetrahemihexahedron, con el cual comparte cuatro de las caras triangulares.

Octahedra en el mundo físico

  • Sobre todo en juegos de la imitación, este sólido se conoce como un "d8", uno de los dados no cúbicos más comunes.
  • Si cada borde de un octaedro es sustituido por una resistencia de una ohmio, la resistencia entre vértices de enfrente es ohmios 1/2 y esto entre vértices contiguos 5/12 ohmios.
  • Los cristales naturales de diamante, alumbre o fluorite son comúnmente octahedral, como el relleno del espacio tetrahedral-octahedral panal.
  • Los platos de la aleación de kamacite en meteoritos octahedrite se arreglan igualando las ocho caras de un octaedro.
  • Muchos iones metálicos coordinan seis ligands en un octahedral o configuración octahedral deformada.

Octahedra en la música

Seis notas musicales se pueden arreglar en los vértices de un octaedro de tal modo que cada borde representa una consonante dyad y cada cara representa una tríada de acuerdo; ver hexany.

Otro octahedra

Los poliedros siguientes son combinatoriamente equivalentes al poliedro regular. Todos ellos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce bordes que corresponden "un por su parte" con los rasgos de un octaedro regular.

  • Antiprismas triangulares: Dos caras son equiláteras, están en aviones paralelos y tienen un eje común de la simetría. Los otros seis triángulos son isósceles.
  • Tetragonal bipyramids, en el cual al menos un de los cuadriláteros ecuatoriales está en un avión. El octaedro regular es un caso especial en el cual tres cuadriláteros son cuadrados planos.
  • El poliedro de Schönhardt, un poliedro no convexo que no se puede dividir en tetrahedra sin introducir nuevos vértices.

Más generalmente, un octaedro puede ser cualquier poliedro con ocho caras. El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 bordes, mínimo para un octaedro; octahedra no regular puede tener hasta 12 vértices y 18 edges.http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/polynum0.htm Otros octahedra no regulares incluyen lo siguiente:

  • Prisma hexagonal: Dos caras son hexágonos regulares paralelos; seis cuadrados unen a pares correspondientes de bordes del hexágono.
  • Pirámide de Heptagonal: Una cara es un heptágono (por lo general regular), y las siete caras restantes son triángulos (por lo general isósceles). No es posible para todas las caras triangulares ser equilátero.
  • Tetraedro truncado: Las cuatro caras del tetraedro son truncadas para hacerse hexágonos regulares, y hay más cuatro caras del triángulo equiláteras donde cada vértice del tetraedro era truncado.
  • Tetragonal trapezohedron: Las ocho caras son milanos congruentes.

Véase también

Enlaces externos


El 4 de octubre / Ole Rømer
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